260 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



Då åter den WElERSTRASS'iska teorien för de analytiska 

 funktionerna är väsendtligen uppbygd på det förhållande, att 

 hvarje analytisk funktion F(x) är i sin helhet entydigt och full- 

 ständigt definierad genom angifvande af alla värden i raden 



F(0) F'{0) . . . W(0) . . . 



synas våra teorera böra utgöra ett väsendtligt moment inom 

 denna teori. 



För att verkligen framställa funktionerna /»/(*') eller f v (x), 

 behöfver man emellertid känna en undre gräns för talen mm x . . 

 m„_i, hvilken åter icke kan erhållas utan föregående känne- 

 dom af öfre gränsen för absoluta beloppet för FX(x) och ett 

 antal af dess derivator för ett visst område. 



Om vi emellertid, enligt teorem A och C, framställa FX(x) 

 genom potensserien pC n (x), hvilken för n = 1 öfvergår i den 

 vanliga potensserien, som af Weierstrass betecknas med $)(#), 

 så erfordras ingen annan kännedom om funktionen F\x) än 

 kännedom om alla element i raden 



F(0)F(0)...F(,»X0).... 



I konstruktionen af potensserien pC n {x) ingå inga andra 

 element från funktionen F(x) än jFV>(0); ,« = 0, 1, 2, .... 



Kan detsamma ernås äfven för våra serier i teoremen E 

 och F? 



Vi vilja i nästa meddelande uppvisa, att detta är fallet. 



Innan vi öfvergå härtill, vilja vi dock till besvarande upp- 

 taga följande fråga.. 



Serien pC n (x) är likformigt konvergent för hvarje område 

 inom C n . När n=l gäller dessutom, att om serien konvergerar 

 för ett visst ställe %, tillhör detta antingen det inre eller be- 

 gränsningen af C\ . Kan denna sista sats upprätthållas äfven 

 för n > 1? 



Låt oss antaga, att lßC n (w) konvergerar för x — x '. Låt 

 oss lägga en linie l genom origo och x' och välja en punkt £' 

 på l, sådan att 



nQ = x . 



