278 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



för området X, huru liten vi än må fastställa den positiva qvan- 

 titeten d. 



Härmed ha vi erhållit följande båda teorem C och D. 



C. Låt FX(.v) vara en sådan gren af den analytiska funk- 

 tionen F(x), som vi förut definierat. 



Låt vidare X vara ett område, hvilket som helst inom om- 

 rådet X och låt d vara en positiv qvantitet hvilken som helst. 

 Man kan alltid och på mångfaldiga sätt bilda en hel rationel 

 funktion af variabeln oj, som har formen: 



■Z 



gW(w)= > ' é£FWtO)x» 



» 



der c äro rationella af elementen /^(O) ; jti = 1, 2, ... obe- 

 roende talkoefficienter, hvilka på ett sådant sätt äro beroende 

 af ett positivt helt tal n, att hvar och en af dem är entydigt 

 gifven i och med detta tal, och att olikheten: 



FX(x)—g^\x) 



eger rum för området X, så snart n väljes öfver en viss undre 

 gräns.» 



Vi ha sett att funktionen g( n \x) kan bildas på följande sätt. 



Man fastställer, huru som helst, en funktion co(n), hvilken 

 för hvarje positivt heltalsvärde på n är en entydigt definierad 

 positiv qvantitet, hvilken samtidigt med n växer öfver hvarje 

 gräns, samt adjungerar härefter till n ett annat positivt helt 

 tal m som entydigt bestämmes genom villkoret, att vara det 

 minsta positiva hela tal, för hvilket 



(38) 1 — «:>«'" 



då med a förstås 



i 

 (37) a = e "^W . 



Man beräknar härefter talen mm^ ...m n _i ur recursions- 

 formlerna: 



