358 GRÖNWALL, DIE LAME'SCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



mentalsystem von m linear unabhängigen Particularintegralen 

 z a \ , • ■ • , z am besitzt, so dass das allgemeine Integral der Form 

 annimmt 



(2) z a = 2 c /5 " z «ß (aj=l,...,m). 



ß 

 Die einzigen Singularitäten der Integrale sind die Singula- 

 ritäten der Coefficienten a a ß y , und bei der Untersuchung des 

 Verhaltens der Integrale in der Umgebung eines singulären 

 Punktes stellt es sich als nothwendig heraus, die verschiedenen 

 irreductiblen ganzen Functionen 



,/lV^i 5 ■ • • » &i>) i J2\.^l ' • • • ' ^ n ) ' • • • ' 



die Factoren von (D sind, herauszuscheiden. Unter eine irre- 

 ductible ganze Function ist dabei eine solche verstanden, die 

 nicht eine Spaltung in zwei ganze Factoren, welche beide Null- 

 stellen besitzen, zulässt. Es wird ausführlich auf die Eigen- 

 schaften der Integrale eingegangen, wobei zugleich die Unter- 

 suchungen der Herren Fuchs, Horn u. A., die sich jedoch nur 

 auf den Fall rationaler Coefficienten a a ßy beziehen, in wesent- 

 lichen Punkten verallgemeinert und ergänzt werden. Nament- 

 lich wird die Frage nach dem Bestimmtsein der Integrale an 

 einem irreductiblen singulären Gebilde f x = vollständig beant- 

 wortet, d. h. die Frage nach den Bedingungen, unter welchen 

 sämratliche Integrale, mit gewissen Potenzen von f x multiplicirt, 

 in jedem Punkte von f x = 0, durch welchen kein von f x =• 

 verschiedenes singulare Gebilde hindurchgeht, bestimmte endliche 

 Grenzwerthe besitzen, wie auch die Annäherung an diesen Punkt 

 geschieht. 



Sämmtliche Entwicklungen werden wesentlich erleichtert 

 durch die Reduction des Systems (1) auf eine Normalform, was 

 folgendermassen geschieht. Es gelingt imm$r, eindeutige Func- 

 tionen A x {oc x , . . . , w n ) , . . . , A m (x x , . . . , # ra ) derart zu bestim- 

 men, dass 

 (3) ■ z = A x z x + . . . + A m z m 



ein Gleichungensystem der Form 



