362 GRÖNWALL, DIE LAME'SCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG. 



wo k ganzzahlig, w und B constant, also in die LAME'sche 

 Differentialgleichung übergeführt wird. 



Um also etwas Neues zu erreichen, muss man einen Schritt 

 weiter gehen, wofür sich zwei Wege darbieten. Erstens kann 

 man, an der Normalform festhaltend, die Systeme dritter oder 

 höherer Ordnung in Betracht nehmen. Dies führt aber auf 

 äusserst complicirte Rechnungen, und es ist mir bis jetzt nicht 

 gelungen, auf diesem Wege befriedigende Resultate zu erreichen. 



Zweitens kann man aber, was in diesem Aufsatze geschehen 

 soll, versuchen, die Systeme zweiter Ordnung 



dz 1 



(6) 



a — a i\y z i + a \2y z 2 



(r = i, ■■■,«) 



oz 2 _ 



-jr— — a 2iy Z l + a 22Y Z 2 



UZy 



aufzustellen, die ein Fundamentalsystem rationalen Charakters 

 und ein einziges, einfaches singulare Gebilde besitzen. 



Es sei dieses singulare Gebilde Q(u i , . . . , u n ) = 0, wo <P 

 eine einfache JACOBi'sche Function ist. Dann hat ein eindeutiges 

 Fundamentalsystem entweder die Form 



,„. | «11 = «PllOl » ■ ■ ■ . U n) , Z 12 = CPi 2 ( U l i • ■ • . U n) 



1 Z 2\ = 9>2l("l »•■••» U n) , z 22 =5 ^22^1 » ■ • ■ > U n) 



wo qp u und <jp 21 die Multiplicatoren /.i a , cp l2 und q> 22 die Multi- 

 plicatoren {i' a (a — 1 , . . . , 2n) besitzen, und überdies die cp 

 nur für — unendlich werden, oder die Form 



( n \ z u — </>n( w i ' • • ' u n) , Z"i2 — ^12(^1 >■ ■ ■ i M ») + <Pn( u i » • • j M n) ' ■£ 

 l Ä ai = <jM M i » • • » M «) 1 ^22 = %2( w i > ■ • » M ») + #21 ( w i >'■'•> M n) • L 



wo die g> dieselben Multiplicatoren f,i a besitzen und nur an <P = 



d log © 



unendlich werden, L aber ein in u x , 



#1^ 



6? log © .. 



— ^ — linearer und homogener Ausdruck mit constanten Coeffi- 



cienten ist. In beiden Fällen hat also die Determinante des 

 Fundamentalsystems die Gestalt 



