ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 6. 367 



A, B, C, I) beliebige Wertlie geben. Es bleiben also von ihnen 

 4?ri 2 — 4 übrig, während die c and a x , a 2 2m 2 + 2, also im 

 Ganzen hm 2 — 2 Constanten liefern, die 4m 2 algebraischen Gleich- 

 ungen genügen. Diese Gleichungen sind für die besondere An- 

 nahme (12) vereinbar und demzufolge sind also wenigstens in 

 einer gewissen Umgebung der von (12) bedingten Werthe sämmt- 

 liche Constanten A, B, C, D, c als algebraische Functionen von 

 m 2 — 4 der Constanten c und der Werthe gewisser Theta- 

 functionen von a Y , a 2 gegeben. Damit wir jetzt eine Lösung 

 unserer Aufgabe besitzen, ist noch nothwendig (und hinreichend) 

 dass die Thetafunction (14) einfach oder eine Potenz einer ein- 

 fachen Theta sei. Untersuchen wir insbesondere, wann (14) eine 

 einfache Theta darstellt. Eine nicht einfache Thetafunction 

 kann, wie aus der Definition der Einfachheit hervorgeht, zu- 

 nächst als ein Product zweier jACOBi'schen Functionen mit den- 

 selben Perioden erster Gattung dargestellt werden; diese Facto- 

 ren sind aber, von dem Falle abgesehen, dass zwischen den % a ß 

 eine gewisse quadratische Gleichung mit ganzzahligen Coeffici- 

 enten besteht, 1 ) beide Thetafunctionen, und man hätte also 

 wenn { nicht einfach wäre: 



®l( V l i V 2) = 

 = Ö> 2 ( V 1 + ( m V ) a \ ! U 2 +" ( m V ) a 2) " ®3( U ] VCl \ ) V 2 ^"2) 



wo Ö> 2 und O s Thetas von den Ordnungen v und m — v resp. 

 sind. Ein solches Produkt enthält aber, a Y und a 2 mitgerechnet, 

 v 2 + (m — v) 2 + 1 Constanten, also da v > 1, deren höchstens 

 m 2 — 2m + 2. Geben wir jetzt a } und a 2 feste Werthe in der 

 Nähe von 0,0, welches Werthpaar (12) entspricht, so sind, wie 

 wir gesehen haben, alle c algebraische Functionen von m 2 — 4 

 unter ihnen. Sofort aber m > 3 wird, so ist diese Zahl grösser 

 als m 2 — 2m + 2, und man kann also die m 2 — 4 willkürlichen 

 unter den c so wählen, dass die durch (14) definirte (D l eine 

 einfache Thetafunction wird. 



') Dieser Fall ist neuerdings von Herrn Humbert eingehend untersucht worden, 

 vgl. Comptes Rendus, 1898, Januar — April. 



