378 MITTAG-LEFFLER, OM DEN ANALYTISKA FRAMSTÄLLNINGEN ETC. 



z = förhåller sig regulärt. Låt oss vidare beteckna de värden 

 som denna gren samt dess derivator i punkten z—0 antaga med 



(9) • : i^^) M -o == F(W)(0) 5 ** = °' 1? 2 * ' ' ; F(0)(0) = F(0) ■ 



Om nu q är radien till konvergenscirkeln för potensserien 



X 1 F (/i W) r- 



/ t \ji 



(10) 



och e välj es så att 

 (11) 



så blir den ifrågavarande grenen af vår analytiska funktion 

 entydig och regulär åtminstone inom den del af X s , hvilken 

 faller inom konvergenscirkeln med radien q, och härmed äfven 

 för ett område X s , r der r blifvit vald tillräckligt liten. Om £ 

 uppfyller villkoret (11) och den positiva qvantiteten r väljes 

 tillräckligt liten, är således grenen FX e> r (z), hvilken är defini- 

 erad genom likheterna (9) entydig och regulär för hela området 

 X St r . Det finnes också vid gifvet £ en öfre gräns r s för alla 

 de positiva värden på r, för hvilka detta förhållande eger rum. 

 Låt oss nu bilda den LAGRANGE'ska serien: 



(12) Wtfz | £)) = F(0) + A^e) ^#Ö + 





i hvilken: 



AJ?) 



<p(z) F ' { %= 



(13) 



Ä n (fi) =j= 



di 



cp(z) 



F'{z) 



samt 



F'{z) 



dFX e . r {z) 

 dz 



