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Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, 1898. N:o 7. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 183. 



Sur les fonctions qui ne satisfont a aucune équation 

 différentielle algébrique. 



Par Hakon Grönwall. 



(Communiqué le 14 Septembre 1898 par G. Mittag-Lefjler.) 



1. Le premier exemple d'une fonction analytique qui ne 

 satisfait a aucune équation différentielle algébrique a été fourni 

 par la fonction T. M. Hölder a ) a démontré cette propriété 

 de la fonction r(x) en employant 1'équation fonctionelle 



r(x + i) - %r(x) 



pour abaisser successivement l'ordre d'une équation différentielle 

 algébrique ä laquelle satisferait r(x), jusqu'a arriver a une 

 équation d'ordre zéro, c'est a dire une équation algébrique 

 F(r(x), x) = 0, ce qui est manifesteraent impossible, r(x) étant 

 une fonction transcendante. M. E. H. Moore 2 ) a traité d'une 

 raaniére analogue quelques autres fonctions satisfaisant a cer- 

 taines équations fonctionnelles simples. 



En étudiant d'une maniére generale les singularités de& 

 fonctions analytiques définies par des équations différentielles, 

 M. Painlevé 3 ) montre que si une fonction analytique présente 

 une ligne singuliére isolée teile que, la variable tendant vers 

 un point déterminé quelconque de cette ligne, la fonction et 

 toutes ses dérivées tendent vers des limites déterminées (finies 



J ) Ueber die Eigenschaft der Garamafunction keiner algebraischen Differential- 

 gleichung zu genügen, Math. Annalen T. 28 (1887) p. 1 — 13. 



2 ) Concerning Transcendentally Transcendental Functions, Math. Ann. T. 48 

 (1896) p. 49—74. 



3 ) Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles, Paris 1897, 

 p. 441—443. 



