388 GRÖNWALL, SUR LES FUNCTIONS QUI NE SATISEONT ETC. 



ou infinies), cette fonction ne peut satisfaire å aucune équation 

 différentielle algébrique. 



En considérant une serie entiére å coefficients rationnels, 

 M. Hurwitz r ) a fait voir que si les dénominateurs de ces 

 coefficients satisfont å certaiues conditions de divisibilité, la 

 serie ne satisfait ä aucune équation différentielle algébrique, 

 lequel resultat généralise le théoreme connu d'EiSENSTElN sur 

 les fonctions algébriques. 



Je vais former ci-dessous, en me placant å un point de 

 vue différent de ceux que je viens d'indiquer, une classe de 

 fonctions jouissant de la meine propriété; la méthode suivie 

 s'etend immédiatement au cas de plusieurs variables, ce qui 

 n'est guére le cas des méthodes dont je viens de parier, et 

 permet ainsi de construire des fonctions qui ne satisfont a au- 

 cune équation algébrique aux dérivées partielies. 



2. Soit z une serie entiére écrite sous la forme 



a) ?- ( = !/*<>) 



OU 



n v 



(2) f v {x) = ^ <tft% a , n v ^ m v > n r _ x ; 



si les nombres entiers m v , n r satisfont aux conditions 

 (o) n v — m v < A T , lim ^±2 = COi 



V = M * ' v 



N étant un nombre fixe, z ne peut satisfaire ä aucune équation 

 différentielle algébrique. 



Car supposons que z satisfasse a une teile équation; en posant 



_l<fe 



^ z dx 



on reconnait facilement que y satisfait alors aussi a une teile 

 équation (voir les travaux cités de M.M. Hölder et Moore). 



- 1 ) Sur le développement des fonctions satisfaisant å une équation différentielle 

 algébrique, Annales de 1'Ecole Normale, Sér. 3, T. 6 (1889) p. 327—332. 



