392 GRÖNWALL, SUR LES FUNCTIONS QUI NE SATISFONT ETC. 



de sorte que F (z), . . ., F%(z) ne s'annulent pas toutes; alors 

 z q satisfait ä 1'équation différentielle linéaire (11), d'oü l'on 

 déduit, par une transformation simple, une équation linéaire a 

 laquelle satisfait l'expression (1). Ou bien F o (z)—0, . ., Fi(z)=0 

 pour chaque z de la forme (9); alors on n'aurait qu'ä raisonner 

 de la méme maniére sur une de ces équations, de degré K — 1, 

 que nous venons de le faire sur F = 0, de degré K, pour re- 

 connaitre qu'en definitive 1'équation différentielle ä laquelle satis- 

 fait (1) peut étre remplacée par une équation différentielle liné- 

 aire et homogene. D'autre part, cette derniére équation doit 

 admettre toutes les solutions (10) pour q dépassant une certaine 

 limite, ce qui est impossible, ces expressions étant toutes de 

 degres différents et par suite linéairement indépendantes, d'oü 

 le théoréme. r ) C. Q,. F. D. 



Soit en particulier m r = n r , n v = v v , a u — 1; la serie 



cg 



v=a 

 ne satisfait a aucune équation différentielle algébrique; d'ailleurs 

 eile ne rentre sous aucune des catégories étudiées dans les tra- 

 vaux cités au n:o 1. 



Il convient d'ajouter que, d'apres les travaux de MM. 

 Hadamard, Borel et Fabry, la serie (1) ne peut étre prolongée 

 au dela du cercle de convergence. 



3. Considérons une serie entiére de n variables 



(12) z = 2/»'(^i » • ■ ■ « *») 



v = 



ou, (x 1 , . . . , x n ) a désignant un polynöme homogene de degré ,u 



n r 

 J v = ^ \ x \ i • • • j A'nJ/u 5 



n v — m v < JS , lim = co . 



II aurait été plus simple de conclure le théoréme de ce que 1'expressiou (8) 

 eontient, pour p assez grand, autant de constantes arbitraires qu'on veut, 

 tandis que la Solution generale de (4) n'en renferme que /; le raisonnement 

 du texte a cependant l'avantage de conduire å la generali sation du n:o suivant. 



