ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, NIO 7. 393 



On établit facilement que, si z satisfait å une équation aux 



d log z i \ 



dérivées partielles algébrique, y = —~ - satisfait egalement a 



üne teile équation, qui, en introduisant de nouveau z com nie 

 inconiiue, devient homogene en z et ses dérivées partielles. En 

 raisonnant comme au n:o 2 sur cette derniére équation, on voit 

 que, pour v suffisamment grand et p quelconque, l'expression 



^oL/o + ■ • • + fv~\ + Cifv+l + ■ ■ ■ + Gpfv+p 



y satisfait, les C étant des constantes arbitraires; on voit de 

 plus qu'une équation aux dérivées partielles jouissant de cette 

 propriété ne saurait étre que linéaire. 



La question de trouver une équation aux dérivées partielles 

 algébrique a laquelle satisfasse une serie donnée (12) est donc 

 réduite a celle-ci: reconnaitre s'il existe une équation linéaire 

 aux dérivées partielles, dont les coefficients sont des polynömes 

 en aj 15 ..., w n , et dont toutes les expressions f v {x^ , ..., a n ), 

 a partir d'une certaine valeur de v, förment des solutions parti- 

 culieres. 



Au lieu d'entrer en des généralités concernant cette der- 

 niére question, nous nous hornerons ä donner quelques exemples. 

 Soit 



une des series (1) considérées au n:o précédent; désignons par 

 7t v le nombre des facteurs premiers différents du nombre v et 

 posons 



(13) z = %\{x).y n --\ 



Comme on a lim— - =0 et å fortiori lim — = 0, on vo t 



que cette serie satisfait aux conditions imposées å la serie (12). 

 Soit 



