394 GRÖNWALL, SUR LES FUNCTIONS QUI NE SATISFONT ETC. 



| s l z d l z d l z d l -\ 



<*oX -5—) + ciü. -5-1 — tö- + . . . + an 3-3 + a . 2 — 1 -5—3 — t + • • - 

 n . j fe x dx'-- l oy oy öx'-~ l 



+ «2-i,i-ifyI=I + ■■• + «00^ = 



1'équation aux dérivées partielles, nécessairement linéaire, ä 

 laquelle satisfont, ä partiv d'un certain v, les termes fv(®)y Vv ~ 

 de (13). En supposant v premier = 'p, tc v — 1 = et tous les 



d l z 

 f p (x) satisfont, pour p assez grand, a 1'équation a o?.^j—f + 



d l ~ l z 

 + a o,a_xo 2 — 1 + • • • + a w z = 0> d'oü, les /^ étant linéaire- 



ment indépendants, a$i = «0, ; _ x = • • • = «00 = 0. En prenant 

 v = pq, p et q étant deux nombres premiers différents, on voit 

 de méme que les coefficients des termes, oü l'on clifferentie seule- 

 ment une fois par rapport a y, s'annulent tous, et ainsi de suite, 

 en posant v == pqr, pqrs, .... Donc (13) ne satisfait ä aueune 

 équation aux dérivées partielles algébrique. 



% Comme il est dif'ficile de généraliser cet exemple å un 

 nombre quelconque de variables, donnons-en un autre, qui est 

 méme plus simple: 



(15) 











y = 





On a 











d a+ß {^y v ) _ 



dx a dyß 





= v(v — 1) . 



••(" 



— 



a 



+ 



1) • v v (y v — 1) . 



. (v 1 



= Caß{v)® V ~ 



OyiP- 



-ß 











d'ou 















ß + Y)x v - a y> 



(16) hm p ; ( == , 



*=« c a ß{y) 



si ß > ß' ou si ß = ß', a > a'. En mettant x v y vV dans (14), 

 on trouve 



2 c «/?W • a «/?(^ ' y) • x ~ a y~ ß = ° ; 



a+ß^?. 



