498 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



Emedan nu summan af dessa polygoners ytor tydligen är 

 lika med sferens hela yta 4s7r, så erhålla vi genom addition lik- 

 heten 



(1) 2 A h fi — Oh + K + ... + li n )rc + 2mt = årt , 

 1. fi 



der summan i venstra membrum är lika med summan af alla 



polygonernas samtliga vinklar. Men emedan summan af de 



vinklar, som sammanträffa i ett hörn tydligen är lika med 2tv, 



och emedan antalet af samtliga hörnen är lika med r, så är 



(2) 2 : 4^, = 2iw. 



1, fi 



Emedan vidare h varje sida i en polygon är i hela sin ut- 

 sträckning sida i äfven en annan polygon, som gränsar intill 

 den förra, så är 



(3) hy + h 2 + . . . + h n = 2k . 



Om vi nu använda eqv. (2) och (3) på eqv. (1), så er- 

 hålla vi 



(4) n + r = k + 2 , 



hvarmed följande teorem är bevisadt: 



Teorem I. Om hela ytan af en sfer är indelad i sferiska 

 polygoner på ett sådant sätt, att hvarje sida i en polygon är i 

 hela sin utsträckning sida i en annan af polygonerna, och om 

 man med n betecknar antalet af alla dessa polygoner, med k 

 antalet af alla de på sferen dragna storcirkelbågarne, som bilda 

 polygonernas sidor, samt med r antalet af alla de punkter på 

 sferen, som bilda polygonernas hörn, så är 



n + r = k + 2 . 



§ 2. 

 Allmänna teorem om konvexa polyedrar. 



Med en polyeder förstås hvarje solid kropp, som begränsas 

 af plana ytor; om en hvilken som hälst af dessa gränsytor ut- 



