ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 8. 499 



dragés i oändlighet, och om det då alltid inträffar, att hela 

 polyedern ligger på en och samma sida om den utdragna gräns- 

 ytan, så säges polyedern vara konvex. Om vi med n beteckna 

 antalet af en konvex polyeders gränsytor, med k antalet af dess 

 kantlinier (skärningslinierna mellan två intill hvarandra stötande 

 gränsytor) och med r antalet af dess hörn (kantliniernas änd- 

 punkter), så inses lätt, att 



(5) n > 4 , r > 4 . 



Om vi inuti polyedern välja en punkt samt med denna 

 som medelpunkt konstruera en sfer med radien 1, och om vi 

 vidare från medelpunkten projieiera polyederns kanter på sferens 

 yta, så blifva dessa projektioner storcirkelbågar, medelst hvilka 

 sferens hela yta indelas i n sferiska polygoner på ett sådant 

 sätt, att hvarje sida i en polygon blir i hela sin utsträckning 

 äfven sida i en annan af polygonerna. Vidare blir antalet af 

 dessa storcirkelbågar, som bilda polygonernas sidor, lika med k, 

 och antalet af alla de punkter på sferen, som bilda polygonernas 

 hörn, blir v. Vi kunna då använda teorem I, och vi erhålla 

 relationen 



(6) n + r = k + 2 , 



hvilken är funnen af Euler. Af formlerna (5) och (6) följer 



(7) k ^ 6 . 



Om vi med x h , der h är ett helt tal, större än eller lika 

 med 3, beteckna antalet af polyederns A-sidiga gränsytor, så är 

 tydligen 



(8) A- 3 + a; 4 + cc h + x 6 + . . . = n ; 

 men nu inses lätt, att 



(9) x n — , x n+l = , x n+2 = , . . . , 



ty om någon af dessa qvantiteter icke vore noll, så skulle po- 

 lyedern ha åtminstone en gränsyta, hvars sidoantal vore större 

 än eller lika med n. Vid denna gränsytas sidor skulle då ligga 

 minst n andra gränsytor, alldenstund polyedern är en sluten 

 figur, och antalet af polyederns samtliga gränsytor skulle dä 



