500 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



vara större än eller lika med n + 1. Emedan detta strider 



mot antagandet, att antalet af samtliga gränsytorna är n, så 



gälla likheterna (9), och relationen (8) kan alltså sättas under 

 formen 



(10) x z + # 4 + #. + ...+ x n — i = n . 



Om vi med y h , der h är större än eller lika med 3, be- 

 teckna antalet af polyederns /i-kantiga hörn, så är 



(!!) . Vz + Vi + y-o + y 6 + • ■ • = r '■> 



men nu är tydligen 



(12) y r = , y r+1 = , y,. +2 = , . . . , 



ty om någon af dessa qvantiteter icke vore noll, så skulle po- 

 lyedern ha åtminstone ett hörn, hvars kantantal vore större än 

 eller lika med r. På detta hörns kanter skulle då ligga minst 

 t andra hörn, alldenstund polyedern är en sluten figur, och an- 

 talet af polyederns samtliga hörn skulle då vara större än eller 

 lika med r + 1. Men detta strider mot antagandet, att antalet 

 af samtliga hörnen är r, och följaktligen gälla likheterna (12), 

 och relationen (11) kan skrifvas 



(13) y z + y 4 + y 5 + . . . + y r -\ = r . 



Emedan hvarje /i-sidig gränsyta på polyedern är omgifven 

 af h kanter, och emedan hvarje kant är gemensam för två 

 gränsytor, så är 



(14) 3x 3 + 4# 4 + 5a;. + . . . + (n — l)x n - 1 = 2k ; 



emedan genom hvarje A-kantigt hörn gå h kanter, och emedan 

 hvarje kant är gemensam för två hörn, så finna vi 



(15) 2»y z + 4# 4 + by 5 + . . . + (r — V)y r -i = 2Jc . 

 Vi sätta de nu bevisade likheterna under formen 



2fc, 



(16) 



h = n — 1 



h=n— 1 



h = 3 



(17) 



h=r— 1 



2 Vh = r » 



h = r— 1 

 2 ]ll J h 



2k . 



