ÖFVERSIGT AP K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 8. 501 



Härmed är följande teorem bevisadt. 



Teorem II. Om antalen af en konvex polyeders gränsytor, 

 kanter och hörn betecknas i ordning med n. k, r, sä är 



n + r = k + 2 , 



n^>4c , ?- !> 4 , & ^> 6 ; 



om vidare för h > 3 antalet af polyederns A-sidiga gränsytor 

 betecknas med x h , och antalet af dess /i-kantiga hörn betecknas 

 med y h , så är 



x h ^> för h > 3 , x h = för h>n, 



h = n — 1 h = n — 1 



£ oc h = n , ^| hx h = 2k 



/i = 3 



samt 



y h ^ för h > 3 , y h — för h>r, 



/) = ?' — 1 Ä = r — i 



It = 3 Ä=3 



De i detta teorem innehållna formlerna finnas med samma 

 beteckningar framstälda hos V. Eberhard, Zur Morphologie der 

 Polyeder, Leipzig 1891, men de äro der anförda utan bevis. 

 De finnas bevisade hos t. ex. Todhunter, Spherical Trigonometry 

 1871 och hos E. Rotjché et Ch. de Comberotjsse, Traité de 

 Geometrie, Paris 1879. I det följande skall jag ur dessa formler 

 härleda några egenskaper hos de konvexa polyedrarne. 



En konvex polyeder har vinklar af tre olika slag, nämligen 

 plana, diedriska och polyedriska vinklar. 



Med en polyeders plana vinklar förstås dess gränsytors 

 plana vinklar. 



Med en polyeders diedriska vinklar förstås de diedriska 

 vinklar, som de två i hvarje kant sammanlöpande gränsytorna 

 bilda med hvarandra. 



Med en polyeders polyedriska vinklar förstås de polyedriska 

 vinklar, som de i hvarje hörn sammanlöpande gränsytorna till- 

 sammans bilda. 



