502 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



Af dessa definitioner följer omedelbart, att antalet af en 

 polyeders diedriska vinklar är lika med k, och att antalet af 

 dess polyedriska vinklar är r. Vi skola nu bestämma antalet 

 och summan af dess plana vinklar. Hvarje A-sidig gränsyta 

 har h plana vinklar, och alltså är antalet af polyederns samt- 

 liga plana vinklar lika med 



Sx 3 + 4.t' 4 + 5x 5 + . . . + (n — l)^ re _ x 



d. v. s. enligt eqv. (14) lika med ~2k. Emedan vidare summan 

 af hvarje A-sidig gränsytas plana vinklar är lika med (A — 2)/t, 

 så finna vi, att summan af polyederns alla plana vinklar är 

 lika med 



eller 



d. v. s. enligt teorem II lika med 



2<> — 2)tt . 

 Härmed är följande teorem bevisadt. 



Teorem III. Antalet af en konvex polyeders alla plana 

 vinklar är lika med 2k, och summan af alla dessa plana vinklar 

 är lika med 2{r — 2)?t. Vidare är antalet af polyederns alla 

 diedriska vinklar lika med k, och antalet af alla dess polyedriska 

 vinklar lika med r. 



Med en konvex polyeders diagonaler förstås de räta linier, 

 som sammanbinda polyederns hörn två och tvä, men som icke 

 äro sidor eller diagonaler i någon af gränsytorna. 



För att bestämma antalet af en polyeders diagonaler, hvilket 

 antal vi beteckna med d, förfara vi på följande sätt. Om de r 

 hörnen i polyedern sammanbindas med hvarandra två och två 

 på alla möjliga sätt, så blir tydligen antalet af alla samman- 

 bindningslinierna lika med 



h=n — 1 





2 c- 



— 2)tt • x h 



Ä=3 





h = n — 1 



h=n — l 



7i 2a h&h 



— 2tz ^i X h 



h = 3 



h = -6 



