504 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



och på samma sätt erhålla vi af eqvationerna (17), alldenstund 

 ijn = för h^r, 



Å = 00 



(21) ^ i (X — h)y /l = Xr~-2k. 



Om vi nu antaga, att X är ett helt tal, som är större än 

 eller lika med 3, så kunna vi sätta eqv. (20) och (21) under 

 formen 



h = /. h = <x> 



(22) 2 ( l — Ä )** + 2 ß — %>< = ln — 2h 

 och 



(23) 2 ( ; - - %» + 2 ( ; < - %» = * r - 2k • 



ä=3 a=;.+i 



Emedan tydligen 



(24) X — h<:Oförh>X + l, 



och emedan qvantiteterna os h och _y A äro positiva eller noll, så 

 är den andra summan i venstra membrum af hvardera af eqva- 

 tionerna (22) och (23) negativ eller noll, och alltså erhålla vi 

 af dessa eqvationer 



h=l 



(25) 2 ( l — Ä )** ^ hl — 2h 



och 



h = i 



(26) 2 ( x — %>< ^ lr — 2k ■ 



h = S . 



Om vi addera dessa två olikheter samt använda Eulers 

 formel på högra membrum, så erhålla vi olikheten 



h = l 



(27) 2 (* - Ä X** + Vn) > (A - 4)A + 2X , 



h = 3 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem V. Om X är ett helt tal, större än eller lika med 

 3, så gälla för hvarje konvex polyeder olikheterna 



