ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 8. 507 



Af olikheten (38) synes, att om en polyeder icke har någon 

 tresidig gränsyta, så har den minst 12 kantlinier. Likaledes 

 synes af olikheten (39), att om en polyeder icke har något tre- 

 kantigt hörn, så har den minst 12 kantlinier. Af olikheten 



(40) synes, att antalet af en polyeders tresidiga gränsytor till- 

 sammans med antalet af dess trekantiga hörn är större än eller 

 lika med 8. 



Införa vi 1 = 5 i teorem VII, så finna vi 



(41) 2# 3 + # 4 >10 — |, 



(42) 2^+3/^10-1, 



(43) 2(^3 + y z ) + x A + y, > k + 10 . 



Af olikheten (41) följer, att om en polyeder icke har någon 

 tresidig eller fyrsidig gränsyta, så har den minst 30 kantlinier. 

 Af olikheten (42) följer, att om en polyeder icke har något 

 trekantigt eller fyrkantigt hörn, så har den minst 30 kantlinier. 



Sätta vi slutligen i det föregående teoremet X -— 6, så er- 

 hålles 



(44) 3^3 + 2x t + x 5 ;> 12 , 



(45) 3y 3 + 2y, + y, > 12 , 



(46) 3(* s + y 3 ) + 2{x % + y 4 ) + z. + y.^>2k + 12 . 



Af olikheten (44) kan man draga följande slutsatser: 

 Om en polyeder icke har någon fyrsidig eller femsidig gräns- 

 yta, så måste den ha minst 4 tresidiga gränsytor. Om en poly- 

 eder icke har någon tresidig eller femsidig gränsyta, så måste 

 den ha minst 6 fyrsidiga gränsytor. Om en polyeder icke har 

 någon tresidig eller fyrsidig gränsyta, så måste den ha minst 

 12 femsidiga gränsytor. 



På samma sätt erhålla vi af olikheten (45) följande resultat: 



