508 BERGER, OM DE KONVEX A POLYEDRARNE. 



Om en polyeder icke har något fyrkantigt eller femkantigt 

 hörn, så har den minst 4 trekantiga hörn. Om en polyeder icke 

 har något trekantigt eller femkantigt hörn, sä måste den ha 

 minst 6 fyrkantiga hörn. Om en polyeder icke har något tre- 

 kantigt eller fyrkantigt hörn, så har den minst 12 femkantiga 

 hörn. 



Vi skola nu bevisa några olikheter, som antalet x n — \ af 

 en polyeders (n — l)-sidiga gränsytor satisfierar, och vi skilja 

 för den skull följande fyra fall: 



1) Om n = 4, så följer af eqv. (10) 



(47) «,_i = 4. 



2) Om n j> 5, så erhålles genom elimination af x 3 ur eqva- 

 tionerna (10) och (14) 



(48) a? 4 + 2x. + 3x 6 + . : '. + (n — £)x n _ i = 2k — 3n , 

 och alltså 



(49) (n — 4)x n _ i <: 2k — 3n . 

 Men enligt teorem VI är 



(50) Är < 3rc — 6 , 

 och alltså följer af olikheten (49) 



(51) x n _ j < 3 . 



3) Om n ;> 6, så kan enligt det föregående x n — \ icke vara 

 större än 3, men vi skola här visa, att x n — \ i själfva verket 

 icke kan vara större än 2. Ty om ^? ra _i vore lika med 3, sa 

 skulle polyedern ha tre (n — l)-sidiga gränsytor; den första af 

 dessa gränsytor har n — 1 hörn, som också äro hörn på poly- 

 edern; den andra gränsytan har likaledes n — 1 hörn, men 

 emedan två af dessa hörn, men icke flera än två, äfven kunna 

 höra till den första gränsytan, sä erhålla vi från den andra 

 gränsytan minst n — S nya hörn på polyedern. Den tredje 

 gränsytan har äfven n — 1 hörn, men emedan fyra af dessa 

 hörn, men icke flera än fyra, kunna tillhöra den första och den 

 andra gränsytan, så erhålla vi från den tredje gränsytan minst 



