510 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



och således med användning af formeln (6) 



(61) k = 3« — 6 . 



Emedan denna likhet strider mot antagandet, att &<3w — 7, 

 så är härmed Levisadt, att i detta fall 



(62) x n ^<\. 



Vi skola nu härleda analoga formler för antalet y r — \ af 

 en polyeders (r — l)-kantiga hörn, och vi skilja äfven nu fyra 

 fall: 



1) Om r = 4, så följer af eqv. (13) 



(63) y,-i = 4. 



2) Om r>5, så erhålles genom elimination af y z ur eqva- 

 tionerna (13) och (15) 



(64) y 4 + 2y 5 + dy 6 + . . . + (r - %,_! = 2Ä- Sr 

 och alltså 



(65)* (r — 4)?/,._ I <2A- — 3r. 



Men enligt teorem VI är 



(66) k<3r—6, 

 och alltså få vi af olikheten (65) 



(67) */,-i<3. 



3) Om r!>6, så kan, enligt livad nu visats, y,._ x icke vara 

 större än 3, men vi skola bevisa, att y r — \ i detta fall icke kan 

 vara större än 2. Ty om y,- — \ vore lika med 3, så skulle po- 



lyedern ha tre (? l)-kantiga hörn. I det första af dessa hörn 



sammanträffa r — 1 gränsytor på polyedern; i det andra hörnet 

 sammanlöpa likaledes r — 1 gränsytor, men emedan två af dessa 

 gränsytor, men icke flera än två, äfven kunna höra till det 

 första hörnet, så erhålla vi från det andra hörnet minst r — 3 

 nya gränsytor på polyedern; i det tredje hörnet sammanlöpa 

 äfven r — 1 gränsytor, men emedan fyra af dessa gränsytor, 

 men icke flera än fyra, äfven kunna höra till det första och 



