ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 8. 511 



det andra hörnet, så erhålla vi från det tredje hörnet minst 

 r — 5 nya gränsytor på polyedern. Häraf skulle följa 



(68) n ;> (r — 1) + (r — 3) + (r — 5) 

 eller 



(69) n^dr — 9. 

 Men enligt teorem VI är 



(70) n < 2r — 4 , 



och af formlerna (69) och (70) skulle följa genom elimination 

 af n 



(71) r<5, 



hvilket strider mot antagandet, att r > 6, och alltså är härmed 

 bevisadt, att i detta fall 



(72) tjr-i^Z. 



4) Om r>6 och samtidigt k < 3r — 7, så kan enligt det 

 föregående y r — \ icke vara större än 2, men man kan visa, att 

 y r — i i detta fall icke öfverstiger 1. Ty vore y r — \ lika med 

 2, så skulle polyedern ha två (r — l)-kantiga hörn. I det första 

 af dessa hörn skulle sammanlöpa r — 1 gränsytor på polyedern; 

 i det andra hörnet skulle likaledes sammanlöpa v — 1 gräns- 

 ytor, men emedan högst två af dessa gränsytor äfven kunna 

 höra till det första hörnet, så erhålla vi från det andra hörnet 

 minst r — o nya gränsytor. Häraf skulle följa 



(73) n > (r — 1) + (r — 3) 

 eller 



(74) n > 2r — 4 . 

 Men enligt teorem VI är 



(75) n <; 2r — 4 , 



och af formlerna (74), (75) skulle vi erhålla 



(76) n = 2r — 4 

 och således enligt formeln (6) 



(77) k = Sr— 6. 



