512 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



Emedan detta resultat strider inot antagandet, att k<3r — 7, 

 så är härmed visadt, att i detta fall 



(78) yr-i^i. 



Vi sammanföra de nu bevisade olikheterna för qvantiteterna 

 x n — i och y r — i i följande teorem. 



Teorem VIII. För de konvexa polyedrarne gälla följande 

 formler: 



x n _ i = 4 , om n = 4 , 



« Ä _ 1 <3, om n — 5, 



&n — i < 2 , om w |> 6 , och 1c = 3n — 6 , 



®n — 1< 1, om w^>6, och &<;3w — 7, 



samt 



^.-1 = 4, om r = é, 



y r _i^3, om r = 5, 



y r _i<|2, om ^>6, och k = 3?' — 6, 



2/ r _i<l, om ?■!> 6, och &<3r — 7. 



Applikationer af de föregående teoremen. 



Enligt teorem II är 



(79) n + r = k + 2, n^é, r>4:, k>6. 



Antalet af en polyeders kanter, som således är större än 

 eller lika med sex, använda vi här såsom grund för indelningen 

 af de konvexa polyedrarne i klasser, så att vi föra två poly- 

 edrar till samma klass eller till olika klasser allteftersom deras 

 kantantal äro lika eller olika. För en ytterligare indelning af 

 de polyedrar, som höra till samma klass, begagna vi oss af 

 talen n, x 3 , # 4 , x-, ... och af talen r, y 3 . y if y 5 , . . ., och vi 

 skola härvid använda de i § 2 bevisade formlerna 



(80) x h ;> för 3 £ h < n — 1 ; x h = för h >- n , 



(81) x 3 + x q + . ..+ x n _! = n, Sx 3 + 4x4 + . . . + (n — l)x n _ 1 = 2&, 



