516 BERGER, OM DE KONVEXA POLYEDRARNE. 



Vi kalla här en polyeder homogen, om 1) alla dess gräns- 

 ytor ha samma sidoantal, och 2) alla dess horn ha samma 

 kantantal. För hvarje homogen polyeder gälla således samtidigt 

 formlerna (6), (108), (112), d. v. s. 



(114) n + r = k + 2 , vn = 2k , qr = 2k , 

 och äfven är, som ofvan visats, 



(115) v = 3, 4, 5 ; q = 3, 4, 5 . 



Man finner lätt, att eqv. (114) och (115) satisfieras blott 

 af fem system af hela positiva värden på qvantiteterna n, v, r, 

 q, k, nämligen 



(116) n = 4, v = 3, r = 4, q = 3, fc = 6, 



(117) n = 8, v = 3, r ='6, $ = 4, & = 12, 



(118) n = 20, v = 3, ?■ = 12, q = 5, ifc = 30, 



(119) ra = 6, v = 4, r = 8, ? = 3, *.= 12, 



(120) n = 12, v = 5, r = 20, ^ = 3, fc = 30. . 



Häraf följer, att det finnes blott fem homogena konvexa 

 polyedrar. Den första af dessa har 4 tresidiga gränsytor, 4 

 trekantiga hörn och 6 kantlinier (tetraedern); den andra har 8 

 tresidiga gränsytor, 6 fyrkantiga hörn och 12 kantlinier (okta- 

 edern); den tredje har 20 tresidiga gränsytor, 12 femkantiga 

 hörn och 30 kantlinier (ikosaedern); den fjärde har 6 fyrsidiga 

 gränsytor, 8 trekantiga hörn och 12 kantlinier (hexaedern); den 

 femte har 12 femsidiga gränsytor, 20 trekantiga hörn och 30 

 kantlinier (dodekaedern). 



Om vi med d beteckna antalet af en konvex polyeders 

 diagonaler, så gäller enligt teorem IV formeln 



(121) cl = ^^Z 1 } + 2 k- i "^ 1/l2 ^ • 



h=3 



För de homogena polyedrarne förenklas denna likhet medelst 

 formlerna (106) till 



(122) * = !fcp!>. + »_!*p i 



