ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 8. 517 



och om vi använda eqv. (116), . . . (120) på eqv. (122), så finna 

 vi, att tetraedern icke har någon diagonal, samt att oktaedern 

 har 3, ikosaedern 36, hexaedern 4 och dodekaedern 100 dia- 

 gonaler. 



Om de regulära polyedrarne. 



En konvex homogen polyeder kallas regulär, om alla dess 

 gränsytor äro regulära kongruenta polygoner, och om alla dess 

 diedriska vinklar äro lika stora. Enligt § 3 finnes det sålunda 

 blott fem regulära polyedrar. Alla kantlinier i en regulär po- 

 lyeder äro tydligen lika stora, och vi beteckna med a längden 

 af en kantlinie; äfven använda vi de i de föregående paragraferna 

 införda talen n, v, r, q, k med deras derstädes angifna betydelse. 

 Vidare förstå vi med I vinkeln mellan två bredvid hvarandra 

 liggande gränsytor, så att < I < tv. Dessutom sätta vi 



R x = radien i den i en gränsyta inskrifna cirkeln, 



R 2 = radien i den omkring en gränsyta omskrifna cirkeln, 



R z = radien i den i polyedern inskrifna sferen, 



_Z? 4 = radien i den sfer, som tangeras af polyederns kanter, 



R. = radien i den omkring polyedern omskrifna sferen. 



Vi skola nu härleda uttryck för dessa fem radier och för 

 vinkeln / medelst de tre qvantiteterna a, v, q, hvilka fullstän- 

 digt bestämma en regulär polyeder både till storlek och form. 



Vi beteckna för den skull med O polyederns medelpunkt, 

 med G en gränsytas medelpunkt, med H och K ändpunkterna 

 af en af denna gränsytas kantlinier samt med L denna kant- 

 linies midtpunkt. Då är tydligen 



(123) R, = GL , R 2 = GH, 



(124) R 3 = OG, R i =OL 1 R, = OH , 

 och 



(125) | = OLG 



