580 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



samma divisorn till n och något af talen (3) alltid är lika med 

 ett och lika med blott ett af talen (2). 



Vi skola nu bestämma, hvilka tal tillhöra hvar och en af 

 dessa s grupper. De tal, som höra till den första gruppen, måste 



n 



finnas bland talen r-~r, der r = 1, 2, 3, . . ., alldenstund de 



Ti TI 



skola ha -r- till divisor. Men emedan -7- skall vara den största 

 «, d x 



gemensamma divisorn till r-— och d, --t-, så måste r och d, 



d x d x 



vara relativa' primtal, och omvändt om r och c/, äro relativa 



o Ti 



primtal, sa är den största gemensamma divisorn till r • -5- och 



rf, 



?2 . n 



d\--j- tydligen lika med -^ . Häraf, följer, att samtliga till den 



o TI 



första gruppen hörande taien erhållas af uttrycket r~r, om man 



der låter r genomlöpa alla hela positiva tal, som äro relativa 

 primtal till d A . På samma sätt erhållas uttryck för de till de 

 öfriga grupperna hörande talen, och om vi med /(m) beteckna 

 en funktion af m, hvilken blott behöfver vara definierad för 

 hela positiva värden på ra, sä följer af det föregående, att 



( 4) £/w= j S/(^) + s'4ä + -£*/fä ■ 



om nämligen serien i venstra membrum äro absolut konvergent, 

 och om vi i allmänhet med ett uttryck af formen 



r = b 

 r = a 



der a, b, c äro hela tal samt a < b. förstå summan af de vär- 

 den, som F(r) antager, då r genomlöper dem bland talen a, 

 a + 1, . . . b, som äro relativa primtal till c. Vi sätta eqv. (4) 

 under formen 



