582 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



hvilken vi skrifva pä följande sätt: 



k = n k = v. r = d r=oo 



*=1 k = n+l dd' = n ;=1 dd' = n r=d + l 



Men enligt den andra af eqvationerna (9) är den sista 

 summan i både venstra och högra membrum af eqv. (11) noll, 

 och vi få alltså 



k = n r—d 



k = l dd' = n r = l 



och således enligt den första af eqvationerna (9) 



k = n r = d 



(12) y^f(k)=^\^f(rd'), 



k = l dd'=n r=l 



och vi kunna uppställa följande teorem. 



Teorein II. Om n är ett helt positivt tal, och f(m) en 

 funktion af m, som blott behöfver vara definierad för 



rn = 1 , 2 , 3 , . . . n , 



så är 



k = 11 r = d 



k = l dd' = n r = l 



För hvarje helt positivt tal n definierar Kronecker en 

 qvantitet s„ på följande sätt: 



1) Om n är delbart med någon qvadrat, som är större än 

 1, så sättes 



(13) e n = ; 



2) om n icke är delbart med någon sådan qvadrat, d. v. s. om 



(14) n = 1 eller n = p A p<±p z . • -p s , 



der pj , p 2 , . . . p s äro sins emellan olika primtal, så sättes i 

 första fallet 



(15) «, = 1 



