ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 9. 585 



här betyda p x , p„, . . . p s samtliga positiva primtal, som gå jämt 

 upp i n, och vi kunna alltså sätta eqv. (27) under formen 



(28) V «#(<*) = ri(i-0(p)) ; 



^^^ pd' = n 



dd! = n 



för n = 1 är venstra membrum 1, och vi kunna uppställa föl- 

 jande teorem. 



Teorem III. Om n är ett helt positivt tal, och om g(pi) 

 är en funktion, som för alla hela positiva tal m och n uppfyller 

 vilkoren 



g(ra)g(n) = g(mn) , g(l) = 1 , 

 så är 



Z fl ( TT (l-<Kp)}, om n>2 : 

 e d g(d)=)pd'=n 



dd~=n I 1 , om n = 1 . 



För den speciela funktionen <?(w?) = 1 följer häraf, att 



V^ I , om n > 2 , 



(29) / ■ a * = 1i = i 



v / j I 1 , om n — 1 . 



Om vi antaga, att #(m) ej är noll för något helt positivt 



1 



värde pä m, och om vi i teorem III ersätta o(m) med —.— T , 

 r JV y <?(m) 



1 

 hvilket tvdligen är tillatet, alldenstund äfven funktionen — -. — - 



" g(pO 



uppfyller de föreskrifna vilkoren, så erhålles för n ^> 2 



(30) Em-MA'-M' 



I dd' = n 



men af relationen dd' = n följer 



(31) g{d)g(d') = g(dd') = g(n) , 



och alltså kan eqv. (30) skrifvas för n > 2 



der p vid produkten genomlöper alla primtal, som äro divisorer 

 till n. 



