586 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



Om vi nu med p l , p 2 , p 3 , ... beteckna de positiva prim- 

 talen ordnade efter storlek, så att 



(33) p x = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, jh = 1 , Pö = 11. • • • 

 och om vi i teorem III sätta 



(34) n = p } p 2 p 3 .-./>,, 



der s är ett godtyckligt helt positivt tal, så få vi 



tag(d)=U^-g(p h ))- 



Vi antaga nu, att funktionen g(m), förutom de förut an- 

 gifna egenskaperna, äfven är så beskaffad, att serien 





g{m) 



m = \ 



är absolut konvergent; låta vi då s växa i oändlighet, så kom- 

 mer d vid summationen i venstra membrum af eqvationen (35) 

 att genomlöpa alla hela positiva tal, som ej äro delbara med 

 någon qvadrat, som är större än 1. Emedan vidare e d är noll 

 för alla tal d, som äro delbara med sådana qvadrater, så kunna 

 vi låta d genomlöpa alla hela positiva tal, och om vi skrifva k 

 i stället för d, så erhålla vi alltså af eqv. (35) för s = oo 



k=oo 



(36) V e k9 (k) =*n (1 - g{p h )) , 



* = 1 



h vilken likhet äfven kan sättas under formen 



(37) ^e k g{k)=U(l-g{p)). 



k=1 



Teorem IV. Oin g(m) är en funktion af m, som för alla 

 hela positiva tal m och n uppfyller vilkoren 



g(m)g(n) = g(mn) , g{\) = 1 , 



och om vidare serien 



