590 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



Vi antaga nu, att f(m) är en funktion af m, som blott be- 

 ll öfver vara definierad för hela positiva tal m, och som har den 

 egenskapen, att serien 



y f(m) 



«1 = 1 



är absolut konvergent. Då är tydligen summan 



(54) S=y ^g }/(kcl) 



en ändlig bestämd qvantitet för hvarje helt positivt tal n, och 

 vi skola här evaluera S. Om vi sätta S under formen 



(55) S = V ^ {/(d) + f(2d) + f(M) + f{U) + ...}, 



då' = n 



och om vi med rf,, d 2 , ... d s beteckna talets n samtliga posi- 

 tiva divisorer, sä finna vi, om termerna i summan i högra mem- 

 brum utskrifvas, 



(56) S = *, (M) + flßdj + f{M x ) + /(4rf,) + ...} 



+ fl* tf(d 2 ) + f(2d 2 ) + f(dd 2 ) + /(4rf 2 ) + ...} 

 + fl*3 (M) + f(P d *) + AH) + /OH) + • • •} 



+ s ds {/(d s ) + f(2d s ) + f{M s ) + f{U s ) + ...}. 



Här ingå i högra membrum termer af formen f(r), der r 

 är ett helt positivt tal, och följaktligen erhålla vi genom om- 

 ordning af termerna en likhet af formen 





(57) 8= > crflr), 



der koefficienterna a,, bestämmas på följande sätt. Om r är ett 

 godtyckligt positivt tal, så är c r lika med koefficienten för f(r) 

 i högra membrum af eqv. (56). Vi se, att f(r) der förekommer 

 högst en gång i hvarje horisontalrad; vidare förekommer f(f) i 



