592 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



(64) 2^/W =^ d ^f(kd) , 



>'=1 dd' = ?i k = \ 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem TI. Om f(m) är en funktion af ?n, som blott be- 

 höfver vara definierad för hela positiva värden på m, och om 

 serien 



m = 00 



I- 



m = \ 



är absolut konvergent, så är för h varje helt positivt tal n 



r = co k = oo 



r = 1 d<2' = n k=\ 



Om vi i den nu bevisade formeln sätta 



(65) n = p x p 2 . . . p s , 



der p x , p 2 , ... p, beteckna de s första primtalen, så erhålla vi 



r = co i = cc 



(66) ^..^/(^-V^ ^T/W, 



>' = 1 dd'=p\p 2 ...p s k = l 



och om vi här låta *• obegränsadt växa, så reduceras serien i 

 venstra membrum tydligen till termen /(l), och i högra mem- 

 brum kommer d att genomlöpa alla hela positiva tal, som ej 

 äro delbara med någon annan qvadrat än 1; emedan vidare 

 faktorn e d är noll, om d är delbart med någon sådan qvadrat, 

 så kunna vi i högra membrum låta d genomlöpa alla hela po- 

 sitiva tal, och vi få alltså af eqv. (66) 



d = ao k=co 



(67) f(l)=Y^^^f(M) 



d=l k=l 



eller, om vi skrifva h i stället för d, 



h = co k — cc 



(68) /(!)= > e h > f(hk) 



z-x 



h=l k=l 



