ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 9. 593 



Om vi med F(x) beteckna en funktion af en kontinuerlig 

 variabel % och med g(m) en funktion, som uppfyller vilkoren 

 (24), och om vi ( i eqv. (68) sätta 



(69) f(m) = g(m)F{mx) , 



så få vi formeln 



A'=oo 



(70) F{x) =^T fi tf$ 2-S ^ k)F(hkx) ' 



och vi kunna alltså uppställa följande teorem. 



Teorein YII. Om F(x) är en funktion af en variabel x, 

 och om g(m) är en funktion, som blott behöfver vara definierad 

 för hela positiva värden på m, och som för alla hela positiva 

 tal m och n uppfyller vilkoren 



g(rn)g(n) = g(mn) , g(l) = 1 , 

 så är 





JX*) = > e„g(h) > g(k)F(hkx) 



ft = l *=1 



för alla värden på x, för hvilka serien i högra membrum är 

 absolut konvergent. 



Om vi i den nu bevisade formeln sätta 



(71) F{x) = 1 , 



och låta båda membra byta plats, så erhålla vi 



(72) 2^e h g(h).2^g(k)-=l 



h = \ i' = l 



och således enligt teorem IV 



(73) Z^ = nr4(rt- 



k = l 



Teorem VIII. Om g(m) är en funktion, som uppfyller vil- 

 koren 



g(m)g(n) = g(mn) , #(1) = 1 



