596 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



Om vi i teorem IX införa 

 (84) f(m) = g(m); 



så erhålles enligt formlerna (24) 



k = d' 



(85) 2l tä = 2^ *#W V.#(< 



r = l dd' = n k—1 



Teorem XI. Om n är ett helt positivt tal, och om g(ni) 

 är en funktion, som för alla hela positiva tal m och n uppfyller 

 vilkoreri 



g(m)g{n) = g(mn) , g(l) = 1 , 

 så är 



r=»; k = d' 



r = l dd' = n k = l 



Om f(m) och fi(m) ärotvå funktioner, som blott behöfva 

 vara definierade för hela positiva tal m, och om F(x) är en 

 funktion af en variabel x, så existerar tydligen en identitet af 

 formen 



(86) ^ ^f{h)f,(k)F(hk X ) = ^T CnF{nx) , 



h = \ k = \ n=l 



ty om man tilldelar de två qvantiteterna h och k alla hela 

 positiva talvärden, så erhåller man af uttrycket F(likx) blott 

 termer af formen F{nx), der n betecknar något helt positivt 

 tal. Hvad koefficienterna c n beträffar, så blifva de bestämda 

 af formeln 



(87) Cn = ^^f(h)Mk), 



h k 



der de hela talen h och k kombineras med h varan dra på alla 

 sätt, som äro förenliga med vilkoret 



(88) hk = n ; 



häraf följer, att h genomlöper alla positiva divisorer till n, och 

 emedan för ett bestämdt värde på h talet k också är fullt be- 

 stämdt enligt eqv. (88), så kan eqv. (87) skrifvas 



