ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898. N:0 9. 597 



(89) c n = ^/(/O/xW 



hk—n 



eller, om vi skrifva d och cl' i stället för h och k, 



(90) e.= VjWi(ä'). 



dd' = n 



Om detta värde på c n införes i eqv. (86), så erhålles formeln 



7t=00 fc = co w = co 



(91) ^f(h)^f,(k)F{hkv) = ^F(nz)^f(d)f 1 (d>), 



h = \ k=l n = \ dd' = n 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorem XII. Om f(m) och f x (jn) äro funktioner af m, som 

 blott behöfva vara definierade för hela positiva tal m, och om 

 F(oc) är en funktion af en variabel a, så är 



h = l k = l ?i = l dd' — n 



för alla värden på a, för hvilka serierna äro absolut konvergenta. 

 Om vi i den nu bevisade formeln sätta 



(92) f(m) = e m g(m) , f x (m) = g{m) , 

 samt låta de två membra byta plats, så erhålla vi 



n = aa h = oo k = oo 



(93) V i^)<?(n) V e d = V 8 tf(A) V g{k)F(hkx) 



re=l dd' = n h = \ k = \ 



eller, om vi på venstra membrum använda eqv. (29) och (24), 



h = <x> k=oo 



(94) 2^) = ^T 6^Ä) ^ g{k)F{hhv) , 



ft = l A- = l 



hvaraf synes, att teorem VII är ett specielt fall af teorem XII. 

 Vi låta nu f(m) vara en funktion, som blott behöfver ha 

 betydelse för de hela positiva talen 



(95) m = 1, 2, 3, ... n, 



der n är ett godtyckligt helt positivt tal, och då är summan 



