600 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



Men enligt eqv. (29) är 



(106) V^ = 0, 



SS'=d s+1 _ h 



om d, +1 _ A >2, d. v. s. om h = 1,2,3, ... s — 2, s — 1, men 



(107) > C j = l, 



SS' = d s + l _ h 



om d s+1 ^ h = 1, d. v. s.. om h = s, och alltså följer af eqv. 

 (105) och (97) 



(108) S = f{d s ) ='f(n) , 



och af eqvationerna (96) och (108) erhålla vi formeln 



(109) f(n) = ^ £d ^f(d), 



dd' = n SS' = d' 



hvarmed följande teorem är bevisadt. 



Teorein XIII. Om n är ett helt positivt tal, och om f(m) 

 är en funktion af m, som blott behöfver vara definierad för de 

 hela talen 



?n = 1 , 2 , 3 , ... n , 

 så är 



dcV = ?! SS' = d' 



II. Om några speciela aritmetiska funktioner. 



I denna afdelning skola de i det föregående bevisade all- 

 männa teoremen användas på några speciela aritmetiska funk- 

 tioner. För hvarje helt positivt tal n definiera vi tio aritmetiska 

 fnnktioner 



på följande sätt: 



