614 BERGER, ARITMETISKA FUNKTIONER. 



2mi \ \ ^ k = d' i Ikni 



1 — e d ' u 



r=n I 2rni \ ^ ^ k = d' 



(207) logH' [l-e~u)= } e d \og Yl 



dd' = n 



eller enligt eqvationerna (200) och (198) 



(208) log F n (u) = V e å log (1 — «*) 



dd' = n 



och således 



(209) F n (u) = Tl(l-u d y d , 



dd' = n 



h varmed följande teorera är bevisadt. 



Teorem XVII. Om n är ett helt positivt tal, och om en 

 funktion F n (u) af en variabel u definieras medelst likheten 



r=n i IrTti \ 



så gälla för h varje helt positivt tal n formlerna 



1 _ u n = Y[ Fd(}l ) 



dd' = n 



och 



Fn(u)= FI(1— «*)**■ 



dd' = n 



Af den sista formeln i detta teorem synes, att F n {u) är en 

 hel heltalig funktion af u, och medelst denna formel kan äfven 

 F n (u) beräknas för hvarje helt positivt tal n. För n = 1, 2, 3, . . . 

 finna vi 

 F^ii) = l—u, F 2 (n) = 1 + u , F 3 (u) = 1 + u + u 2 , F t (u) = 1 + u- , 



F.( M ) = 1 + M + M 2 + M 3 + M* , i^ 6 (w) = 1 — M + U 2 , ^ 7 (m) = 1 + U + 

 M 2 + tt 3 + M 4 + « 5 + M 6 , F 8 (u)=l + U*, F 9 (m)=1+M 3 +W 6 , F 10 (u) = 



1 — u + u 2 — w 3 + w 4 , F n (u)= 1 + u + «- + ... + w 9 + ?t 10 , F i2 (u)= 



1 7t 2 + M 4 . 



Vi skola nu bestämma funktionens F H (iC) värde för u = 1. 

 Enligt eqv. (29) är för « > 2 



(210) 1 = 11(1 -t»)* - , 



och af eqv. (209) och (210) följer genom division 



