636 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



integrales allant ä l'origine de teile maniére qu'elles n'y ont pas 

 de tangente déterminée, on ne les ohtiendra pas par la méthode 

 de Briot et Bouquet. 



Dans les pages suivantes je veux donner une nouvelle mé- 

 thode de réduction, par laquelle on réduit 1'étude des courbes 

 integrales de l'equation (1) allant a l'origine a celle des courbes 

 integrales de plusieurs équations de la forme (2), qui seront en 

 outre telles que Vun des nombres entiers m ou n sera egal ä 1. 



Par mes mémoires, présentés ä 1'académie le 9 Fevrier et 

 le 9 Mars cette année, on sait alors que 1'on peut complétement 

 déterrainer les courbes integrales reelles de ces équations et 

 méme en donner des développements analytiques en series. 



Pour le cas ou il existe au moins une courbe integrale 

 reelle de l'equation (/) allant ä l'origine avec une tangente 

 déterminée, je veux prouver que cette méthode de réduction nous 

 donnera toutes les courbes integrales reelles allant a Vorigine. 



Pour le cas au contraire ou il n'existe pas de courbe reelle 

 allant a l'origine avec une tangente déterminée, on peut prouver 

 que l'origine sera ou un Foyer ou un Centre, (en employant la 

 terminologie introduite par M. Poincaré"). 



Cest-a-dire, l'origine jouira daas le premier cas de la pro- 

 priété suivante: 



On peut entourer Vorigine par un cercle C (x 2 + y 2 < d-) 

 de rayon suffisamment petit ö, tel quil passe une spirale, se 

 rapprochani indéfiniment de Vorigine, par chaque point du plan, 

 situé å Vintérieur de C. 



Et dans le second eile sera de la nature suivante. 



Ayant entouré Vorigine par un cercle C, de rayon aussi 

 petit que Von voudra, il existe toujours a Vintérieur de C une 

 infinite de courbes integrales fermées, entourant Vorigine. - 1 ) 



Dans le present memoire je me borne pourtant å donner la 



méthode de réduction mentionnée, renvoyant a une autre occa- 



sion 1'étude des cas oü il n'existe pas de courbe integrale reelle 



allant a l'origine avec une tangente déterminée. 



x ) On observera que cette definition d'un Centre n'est pas identique å celle 

 de M. Poincaré. 



