ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1898, N:0 9. 637 



I. 



En écrivant 1'équation différentielle sous la forme suivante 



dt 



( 3 ) j 



dt 



nous comraencerons par établir quelques théorémes géneraux. 



Soit A une region du plan des x, y teile que les fonctions 

 X et Y soient développables en serie de Taylor au voisinage 

 de chaque valeur x , y , de A. Nous supposerons en outre que 

 les fonctions X et Y n'aient pas de diviseur commun. En pre- 

 nant un point quelconque x , y de A, on sait alors qu'il existe 

 un seul Systeme d'integrales 



x(t) = x(t — t , x , y u ) 



y(t) = y(* — f o . x o . Vo) 

 satisfaisant aux équations (3) et prenant pour t = t les valeurs 



x, 



o' 



et y . Ces fonctions x(t) et y(t) sont des fonctions holo- 

 morphes de t, quand \t — 1 \ est suffissamment petit. 



On sait de plus, qu'il n'existe que cette seule courbe inte- 

 grale qui est teile que 



lim x(t) = x ; lim y(t) = y . 



t = to t—to 



Les équations (4) représentent toujours une courbe integrale 

 du Systeme (3), excepté quand x , y satisfont å 



X (®o » Vo) = ° 5 Y ( x o i Vo) = ° • 

 Dans ce cas le point x n , y est dit un point singulier du 

 Systeme, et 1'intégrale (4) se réduit au point 



x = x Q 5 y = y , 



qui sera donc le seul Systeme d'integrales qui tend vers le point 

 singulier x , y , quand t tend vers une valeur finie. 



Si x , y n'est pas un point singulier, les fonctions x(t), y(t) 

 seront des fonctions holomorphes pour des valeurs de t voisines 

 de t n . 



