638 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



Supposons que ces fonctions continuent d'etre des fonctions 

 holomorphes de t, tant que t ne dépasse pas la quantité T, mais 

 qu'elles ne soient plus des fonctions holomorphes au voisinage 

 de t = T. 



Envisageons alors une region du plan des x^ y quelconque 

 A\ située ä V Interieur de A, je dis que la courbe integrale ne 

 peut pas rester ä V Interieur de A', quand t croit de t Q ä T. 



Car si la courbe integrale restait toujours a 1'intérieur de 

 A', on pouvait déterminer un nombre positif M tel que 



\X\<M] \Y\<M- pour t<t <T. 



En désignant par s l'arc de la courbe integrale, on aurait 



=JVx 2 + Y-dt < M- V2 \T— i ] 



Mais l'arc de la courbe étant d'une longueur finie, il s'en- 

 suit que x(J) et y(t) tendront vers des limites déterminées quand 

 t tendra vers T. 



On aurait donc 



lim x(t) = a ; lim y(t) = b . 

 t=T t=r' 



Le point x = a, y = b ne peut donc pas étre nn point 

 singulier de l'equation (3), car il n'existe alors d'autre Systeme 

 que x = a, y = b, qui tend vers !e point (a, b), quand t tendra 

 vers une valeur finie. 



De meine ce point ne peut pas étre un point regulier, car 

 alors x(t), y(t) seraient des fonctions holomorphes de t au voi- 

 sinage de t = T. 



II n'est donc pas possible que la courbe reste å 1'intérieur 

 de A', quand t tend vers T. c. q. f. d. 



Supposons maintenant que x{t) et y(t) soient des fonctions 

 telles que le point x, y soit toujours situé a 1'intérieur de A, tant 

 que t>t . On conclut que ces fonctions seront des fonctions 

 holomorphes pour chaque valeur de t > t . 



Supposons enfin que 1'on ait 



lim x(t) — a ; lim y(t) = b ; 



