640 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



Nous voulons doitc d'abord prouver le théoreme suivant: 

 Theoreme. 



Une courbe integrale du Systeme d'equations (.5), allant ä 

 Vorigine, sera ou une Spirale se rapprochant indéfiniment de 

 Vorigine, ou eile y parviendra avec une tangente déterminée. 



Pour la demonstration on aura å distinguer deux cas, sui- 

 vant que 



(6) x Y m — yX m = 



ou non. 



1) Supposons d'abord que Videntité (6) ne soit pas satis- 

 faite et faisons la Substitution 



x = q Cos e ; y = q Sin ö . 



On obtient alors 



-£ = ^[Cos öX TO (Cos 6 , Sin e) + Sin ö Y^Cos e , Sin ß) + 



Ctv-i 



w i» 



+ qX(q , Cos 8 , Sin ö)] 



— = Cos e I 7 ro (Cos 6 , Sin e) — Sin öX m (Cos 6 , Sin 6) + 



+ qY(q , Costf , Sine) 



oü X et Y désignent des fonctions développables en serie de 

 Taylor pour tout Systeme de valeurs q, ö, tel que 



0<Q<d; — oo < e < + oo . 



La nouvelle variable t x sera en outre liée ä l'ancienne par 

 la relation 



(8) §=«--'• 



Soit maintenant 



x = x{t) ; y = y(t) ; 



une courbe integrale L du Systeme (5), teile que 

 lim x(t) = ; lim y(t) = ; 



t = oo 2 = 00 



et que l'e point x(t), y(t) soit situé ä Pintérieur de C, tant que 



