642 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



On peut alors déterminer un nombre positif d 1 < d, suffis- 

 samment petit pour que 



■j- > pour 6 = a , tant que q < d x . 



Or la courbe L va, d'apres notre supposition, a l'origine. 

 On peut alors toujours fixer un nombre positif m, tel que 



q < c)', pour f>m. 



Soit enfin m, la valeur de t x correspondant å la valeur m 

 de t, on sait que 



q < <J, pour t l > m\ . 



L'inegalite 



de „ 



-^- > pour e = a 



at x 



nous apprend, que la courbe Z, passera du coté du plan des q, 

 6, oü 6 < a å celui oii <9 > «, quand £ va en croissant. 



Si eile coupe la droite ö = a pour une valeur ra 2 de ^, eile 

 ne peut donc pas couper la méme droite pour une nouvelle valeur 

 m 3 > m 2 , sans passer du coté oü ß > a ä celui oü e < a. quand 

 ij va en croissant, mais cela est impossible. 



La courbe L x ne pouvant donc pas couper la droite ö = a 

 pour t } > m 2 , la valeur a ne sera evidemment pas une valeur 

 limite de d(t x ). 



Nous pouvons donc affirmer que e(t x ) tendra vers une limite 



déterminée, quand t x tendra vers co. 



Si 



lim 6{t x ) = oo 



t-j =00 



il est evident que la courbe L est une spiral e se rapprochaut 

 indéfiniment de l'origine. 

 Si au contraire 



lim e{t x ) = a 

 t\ =°° 



on conclut que la courbe L parviendra ä l'origine avec la tan- 



»ente déterminée ö = a. c. q. f. d. 



Les directions des tangentes possibles seront toujours données 



par 1'équation 



mY m —yX m — . 



