644 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DLFFÉRENTIELLES. 



Dans le cas oü ?'=^0 ces points ne sont éviderament pas tou- 

 jours des points singuliers, mais les points singuliers, situés sur Taxe 

 (> = 0, se trouvent toujours entre les Solutions de cette équation. 



Soit ß = a une valeur de ß qui ne satisfait pas å cette 

 équation. On sait alors, qu'il passe une et une seule courbe 

 integrale du Systeme (9) par le point q = 0; ß — a. On en 

 conclut qu'il passe une et une seule courbe integrale du Systeme 

 (5) par l'origine avec la tangente determinée 

 y Cos a — sc Sin a = . 



Désignons maintenant par L\ et U 2 les deux courbes in- 

 tegrales, passant par q = 0, ß = a et par q — 0, ß = a + 2tv. 

 Déterminons å x < d, de maniére que la droite q — (J'j rencontre 

 les deux courbes L\ et Z/ 2 . A la courbe L du plan des x, y 

 correspond alors une courbe U 



e = e0i); o = Kh) 



du plan des q, ß, située entre L\ et L\. 



Quand t croit de t vers l'infini, t x tendra vers une limite 

 determinée, finie ou infinie. 



Si cette limite est une quantité finie T, on sait que ß(t x ) 

 tendra vers une limite finie ß, teile que le point q = 0, ß = ß, 

 soit un point regulier du Systeme (9). A la courbe L corre- 

 spondra alors la courbe L' passant par ß = ß, q = 0, d'oü l'on 

 conclut que la courbe L parviendra å l'origine avec la tangente 

 determinée y Cos ß — m Sin ß = 0. 



Si t x tend vers l'infini, quand t tend vers l'infini, je dis que 

 ß{t x ) tendra vers une limite finie determinée. 



La courbe U étant en effet située entre L\ et L' 2 , il est 

 evident que les valeurs limites de ö(^) seront situées entre a et 

 a + 2rc. Supposons maintenant que e(t x ) ait deux valeurs li- 

 mites ß x et ß 2 >ß\, et envisageons la courbe integrale L' 3 , pas- 

 sant par le point q = 0, ß — y, y étant un nombre quelconque 

 situé entre ß x et ß 2 , mais tel que le point £ = 0, ß = y soit un 

 point regulier. r ) 



') Supposons en outre qu'on ait choisi d\ suffissamment petit pour que la droite 

 o = §i coupe les trois courbes Z/, , L' 2 , L' 3 . 



