646 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFEÉRENT1ELLES . 



Supposons enfin que l'identite (6) soit satisfaite et que 

 Q m — i(0, y) =j= 0. Notre Substitution nous donnera alors 



-^ = Qm-*i(X , .5/1) + 0^(0 , y x ) 



-^- = x r [Z m+) . +2 (l , y,) + xZ i x > 2/i)] • 



(10 bis ) 



A une integrale du Systeme (10 bis ), passant par un point 

 regulier x = 0, y, = «, correspond alors une integrale du Sys- 

 teme (5) allant ä l'origine avec une tangente déterminée. Ces 

 eourbes nous pouvons les regarder comme connues. 



II existe aussi une seule courbe allant a l'origine avec la 

 tangente déterminée x = 0, laquelle nous pouvons obtenir en 

 déterminant 1'intégrale du Systeme (9) passant par q = 0, 



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Toutes les autres eourbes integrales du Systeme (5), allant 

 ä l'origine, correspondront aux eourbes integrales du Systeme 

 (10 bis ) allant aux points singuliers 



x = , y = \ ; oü Q m _ x (l , k t ) = . 



Mais il nous suffit d'etudier les eourbes integrales allant ä 

 un tel point singulier avec des tangentes déterminées, car une 

 Spirale se rapprochant indéfiniment du point x = 0, y = k x , 

 coupera nécessairement la droite x = dans une infinite de 

 points réguliers et ne nous donnera donc pas d'autres eourbes 

 du Systeme (5) que Celles, qu'on a obtenues du Systeme (10 bis ), 

 en étudiant les points réguliers de la droite x — 0. 



Nous pouvons donc énoncer que, si Von a, ou X m (0 ,?/)=(= 0, 

 ou Qm— 1(0, y) 4= 0, on connaitra toutes les integrales cht Systeme 

 (5) allant a Vorigine avec des tangentes déterminées, si Von sait 

 déterminer toutes les integrales de Véquation (10) ou (10 bis ) qui 

 iront aux points singuliers x = 0, y = h x avec des tangentes 

 déterminées. 



