648 BENDIXSON, POINTS SINGULIBRS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



II s'en suit que §ip m — r^g) m ne s'annulle pas pour £ — 0, 

 c'est-ä-dire que cp m (0 , rj) =)= 0. 



Mettons ensuite 



g = x x ,; ij = (y, + ^>! 

 oü Ä!j est une racine reelle de 



(12) y/ m (i, V) — VMi ? *,) = o. 



On obtient alors 



^ = ^[^„(1 , y r +■<*!) + ^(jp(^ , ?/,)] 



< 13) dy 



-^ = j// TO (l , #,+&,) — (#, +Å 1 )qp m (l , y, +Ä 1 ) + « 1 ^(« 1 , fr) 



q> et if désignant des series procédant suivant les puissances 

 entiéres et positives de x x et de y x , et t x désignant une variable 

 auxiliaire convenable. 



Pour déterrainer les courbes integrales du Systeme (11) 

 allant a l'origine, il faut alors déterminer les courbes integrales, 

 allant a l'origine, des divers systemes d'equations (13) qu'on 

 obtient, en prenant les difFérentes racines reelles k x de l'equa- 

 tion (12). 



Si au contraire r > 0, on aura 



X = asQ m _ i(* , y) + X m+1 

 Y = yQ m -i(x , y) + Y m+1 . 



En choisissant alors les constantes a, ß, y, d de teile maniére 

 que Q m _i(a, y) =)= pour £ = 0, on sait que 



q*JS > n) = %Qm - i(£ , n) 

 V>™(£ > n) = nQ»i - i(§ , q) 



oü Q TO _x(^, 17) est un polynome de dimension m — 1, tel que 

 Q m _ 1 (0, ^)=#0. 



Mettons maintenant 



b = .«i ; n - (yi + &iK 



oü &J est une racine reelle de l'equation 

 (12 bis ) Q»-i(l, /c,) = 



