652 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



les fonctions q> r et w v étant des fonctions holomorphes de f au 

 voisinage de £ = 0, et S P, ^j étant des series procédant suivant 

 les puissances entieres et positives de £ et de iq. 

 En mettant 



cpg, r[) = ri m + cp^r}™- 1 + . . . + cp m {%) 

 v<£> n) = T + «M£>f -1 + ■■■ + lpm(Z) 

 on aura alors 



ip(£, 1 >=.<^ 1+ -».T 1+ - + -»'-i- 1 T^ f y,) 



les fonctions ij, et Y 7 , désignant des series procédant suivant 

 les puissances entiéres et positives de x r et de y v , convergentes 

 au voisinage de x v = 0, y v = 0. 



En appliquant la méthode pour la recherche du plus grand 

 diviseur commun des deux polynomes g>, et \p, on peut déter- 

 rainer deux polynomes en ^ L(£, rj), Mg, ij), dont les coeffici- 

 ents sont des fonctions holomorphes en £, tels que 



(19) Lg , n )ipg , n ) + Mg , i) ■ ifjg , rj) = g)® 



tyg) désignant une fonction holomorphe en £ au voisinage de 

 £ = 0. On pourra alors écrire 



oü s sera un nombre entier facile a déterminer. 



Choisissons maintenant les constantes /i et Je de teile ma- 

 niere que 



ha + kc 4= 



et introduisons les nouvelles variables x et y,,, dans 1'équation 

 (19). Les équations (17) nous apprennent alors que le membre 

 droit est divisible par x s , mais pas par x s y * . Le membre gauche 



, • i' • mi m — 1 + TOi — l+...+ro„ i — 1 



sera au contraire divisible par x v 1 



II s'en suit que l'une des quantités m — 1, ..., m v — \ — 1 

 doit nécessairement étre égale a zéro, si v > s. 



