654 BENDIXSON,POTNTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



(p et \p contenant des termes de dimension 1 au moins. Le 

 point §=0, y v = 0, sera donc un COL, et on sait qu'il ne passe 

 par ce point d'autre courbe integrale que y v = et '§ = 0, les- 

 quelles correspondent toutes les deux å x v = 0. 



En entendant par n un nombre entier tel que X v soit di- 

 visible par x*~ , mais pas par x\ on peut écrire le sy-stéme 

 (20) de la maniére suivante 



(21) *; 



ClVy Vy KXy T J. s^ 



v dx v X q (x v , y v ) + X q+1 



X q ne contenant que des termes de dimension q, et Y 2 et X q+ \ 

 ne contenant que des termes de dimensions plus grandes que 1 et q. 



Si q = 0, cette équation se réduit å une de celles que j'ai 

 traitées dans un memoire antérieur. x ) 



Si au contraire q > 0, nous mettons 



y v = (k + y y+ {)x r 

 ce qui nous donne 



11 + qdyy + l Vv + \ k\X v + J2 n + q — l/j s 



* ~dx~y~ : " X q (l , y v+1 + k) + x X~ X v K + 1Jr+l) 



= y^- k ^ + I^ - X ^-\k + y r+1 ) 

 X q\Xv , yv + i) + A ffl + 1 



X qx désignant les termes de moindre dimension q x du dénomina- 

 teur. Il nous suffit ici d'etudier les integrales de cette équation 

 allant a 1'origine, car 1'équation (21) ne posséde qu'une seule 

 courbe integrale allant å 1'origine avec la tangente x v = 0, å 

 savoir x r — - 0. 



Si q x = 0, on pourra traiter cette équation par la méthode 

 de mon memoire cité. Si au contraire q i > 0, nous ferons la 



Substitution 



y r+1 = (&, + y v +i)xy . 



En continuant ainsi on parviendra par la Substitution 



y v +?.-x = (h-\ + yv+i)%v 



l ) Voir mon memoire: »Sur les points singuliers des équat. diff.» présenté ;i 

 1'Académie le 9 Février. 



