656 BENDIXSON, POINTS SINGULIERS DES ÉQUATIONS DIFEÉRENTIELLES. 



Apres un nombre süffisant de substitutions on parviendra 

 donc nécessairement ä une équation différentielle teile que q?=0, 

 c'est ä dire teile que nous en pouvons déterminer toutes les 

 integrales allant ä l'origine. 



Avant de procéder plus loin, observons que nous pouvons 

 maintenant déterminer toutes les integrales, allant a l'origine 

 avec des tangentes détenninées, d'un Systeme d'equations de la 

 forme 



dx _ „ „ 

 dt ~ Am + Am+1 



dt ~ m "*" " (+1 



oü xY m — yX m ne s'annulle pas identiquement et n'a pas de 

 facteur réel linéaire multiple. Car si y — ax est un des f acte urs 

 linéaires de cette expression, la Substitution 



y = (« + n) x 



nous donnera 



~ = X m (l , a + t;) + xX 



#-J = YJ1 , a + iq) — (« + vj)X m (l , a + ri) + xY 



= C17] + bx + \p 2 



oü a n'est pas zéro, ce qui nous donne une équation de la 

 forme traitée ici. 



Retournons maintenant aux équations (20), et mettons 



X r = <jpj + cp 2 ; Y v = ip t + ip 2 ; 



oü cp x et xp x ne contiennent que des teruies de dimension 1. 

 Les seuls cas qu'il nous reste ä traiter sont: 



I. Si Xy\p 1 —y v cp 1 =0. 



On aura alors q> l =ax v ' 1 ip 1 = ay r , et l'origine sera un NOETJD. 



IL Si x v ifj x —y v (f x — (ky v + /U,-) 2 . 



La Substitution 



nous donnera alors 



