658 BENDIXSON, POINTS SINGÜLIERS DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 



on obtient 



(27) 





% et j^3 ne contenant que des termes de dimension plus grande 



que 2. L'equation, déterminant les tangentes å l'origine, sera ici 



&„ +1 [2gy<0, 0) — fy K+1 ] = 0. 



Toutes ces tangentes étant distinctes nous savons traiter 

 le Systeme (27). 



Le Systeme (25) conduira donc, ou å un Systeme que nous 

 savons traiter, ou ä un Systeme (26) dont les termes de moindre 

 dimension seront d'ordre 2. En traitant ce Systeme par notre 

 méthode de réduction de la page 647, nous parviendrons, ou a 

 un Systeme que nous savons déjä traiter, ou ä un Systeme de la 

 forme (25). Celui-ci conduira, ou a un Systeme que nous savons 

 traiter, ou ä un Systeme dont les termes de moindre dimension 

 sont d'ordre 2. 



Mais l'equation (19) met en évidence que nous ne pouvons 

 pas rencontrer plus de s tels systemes d'equations, dont les 

 termes de moindre dimension sont d'ordre 2, et il s'en suit, que 

 nous parviendrons toujours ä un Systeme d'equations que nous 

 savons traiter. 



Nous sommes donc parvenus au resultat que nous voulions 

 prouver, ä savoir: 



S'il existe des courbes integrales du Systeme {10), allant ä 

 Vorigine avec des tangentes déterminées, toutes les courbes inte- 

 grales allant ä Vorigine, y parviendront avec des tangentes déter- 

 minées, et notre méthode de réduction nous donnera toutes ces 

 courbes. 



Si au contraire notre méthode de réduction ne nous donne 

 pas de courbe allant ä l'origine, nous pouvons conclure qn'il 

 n'existe pas de courbe allant a l'origine avec une tangente dé- 

 terminée. — L'origine sera alors ou un Foyer ou un Centre. 



