40 FREDHOLM, LA RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICHLET. 



ne peut pas converger pour toutes les valeurs de X. Mais par 

 ce qu'on sait qu'une fonction méromorphe peut toujours s'ex- 

 primer par le quotient de deux fonctions entieres, il m'a paru 

 naturel de chercher directeraent ces fonctions entieres. 



Comme on va le voir dans les pages suivantes ce probleme 

 est relativement facile dans le cas de deux variables indépen- 

 dantes pour un domaine limité par une seule courbe. 



§ 1. Sur une certaine classe d'equations fonctionnelles. 



Proposons-nous le probleme de trouver une fonction (f{x) 

 satisfaisant å Téquation fonctionnelle 



1 

 (1) (fix) + ij f{a;, s)g){s)ds = ijj{x) . 







Je suppose que /(.r, s) soit définie pour toute valeur des vari- 

 ables reelles ^ et s coniprise entre zéro et un. 



Je suppose de plus qu'il existe une limite supérieure, soit F, 

 de la valeur absolue de f{x, s). De plus f{x, s) sera en general 

 continue mais pourra subir des changements brusques, si le 

 point {x, s) traverse certaines courbes dont le nombre sera sup- 

 pose fini. 



Quant å i/^(.i') je suppose qu'elle soit une fonction continue. 



En employant la notation abrégée 





Å^-yi) . Å^2y2) ' • • • ' f('^2yn) 



/('^«.Vl) > Å^nyz) , • • • : Å^nyn) 



je forme maintenant l'expression 



1 1 1 



B = 1 + I i f{x^ , Xi)dxi + 



o 



I"" 





II K:: 



o o 

 1 



yh ■ ■ ■ "-'Adx, 



\i2.j ... Xfil 



dx^dx^ + . . . 





