ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1900, N:0 1. 



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A cause de l'analogie qui existe entré les équations liné- 

 aires et Téquation fonctionnelle (1) j'appelle D le déterminant 

 de réquation fonctionnelle (1). 



Je dis niaintenant que D est une fonction entiere de X. 

 Cela est une conséquence presque immédiate d'un théoréme de 

 M. Hadamard. ') Le dit théoréme nous apprend que la valeur 

 absolue d'un déterminant donné est au plus égale å la racine 

 carrée du terme principal dans le déterminant obtenu en multi- 

 pliant le déterminant donné avec son déterminant imaginaire 

 conjugué. 



Par conséquent on a 



/I 



La fonction 



y\ 



W- 



< y n« • F'' . 



£ 



|/7l" 



F"l' 



est ainsi une fonction majorante de i); mais parce qu'evidem- 

 ment p est une fonction entiere de I, il résulte qu'aussi D est 

 une fonction entiere de X. 



De mérae on voit que FiB est une fonction majorante de 

 la fonction 



A(^,^)=/(.^^^)+M/^^,'^|^+| 



oo 



f\ 





f\ ' \dx, dxc, + ... 



CvfcV-l • • ■ (XlAji^ m t 



Par suite, F\{^, tj) est une fonction entiere de X, et la serie 

 qui définit X'j(^, /;) est uniformément convergente par rapport 

 aux variables ^, iq, X. 



En développant maintenant le déterminant 



./ S ) X.^ . . . Xy^ 



') Bulletin des sciences mathématiques, 1893 p. 242. 



^) Les limites des integrales étant toujours O et 1 je les ai omis ici et dans ce 

 qui suit. 



