42 FREDHOLM, LA RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICHLET. 



suivant les elements de la premiere ligne on trouve 



/(l^r-::::)=/(^'<:::::)-/M:v.;:.:::)- 



+ 





Si on multiplie les deux membres de cette égalité par 

 dx^ . . . dxji et qu'on effectue l'integration, on trouve — en obser- 

 vant que les n — 1 derniers termes dans le second meinbre ne 

 difFérent du second ternie que par la notation des variables, par 

 rapport auxquelles on integre — la formule suivante 



Appliquons cette transformation k chaque terme dans le 

 développement de Di{^, ■*j), nous aurons la formule importante 



(2) D,{^ , 71) = M , ri)n - IJA^ , r)D,iT , ri)dT . 

 Définissions maintenant une fonction CD(^) par Téquation 



(p(ar) = ip(ä;)D — I C D^{x , t)ip{t)dt , 



et introduisons <P(.^;) å la place de q)(a;) dans le premier membre 

 de réquation fonctionnelle donnée (1), nous aurons 



0{a;) + Cf{x , s)0{s)ds 

 = ip{a;)D — I fD^{x , t)\p{i)dt + ljUi{s)D — li^D^{s , t)ip{t)dt \ f{x , s)i 

 = ip{x)D — IjiD^ix , t) —f(x , t)D + ljD,{s , t)f(x , s)ds)^ ii>(t)dt . 



Mais å cause de Téquation (2) il ne reste que le premier 

 terme. Par conséquent, (D(x) satisfait å Téquation fonctionnelle 



(3) 0(x) + lff{x , s)(D(s)ds = if>{x)D . 



